Tìm số nguyên dương n sao cho \(C_{2n + 1}^1 - 2.2C_{2n + 1}^2 + {3.2^2}.C_{2n + 1}^2 - ...

* Hướng dẫn giải

Xét \({\left( {1 + x} \right)^{2n + 1}} = \sum\limits_{i = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^i} {x^i} \Rightarrow {\left( {1 + x} \right)^{2n + 1}}' = (2n + 1){\left( {1 + x} \right)^{2n}} = \sum\limits_{i = 1}^{2n + 1} {i.C_{2n + 1}^i.{x^{i - 1}}} \) 

Chọn x = -2 ta có: \((2n + 1){(1 - 2)^{2n}} = C_{2n + 1}^1 - 2.2C_{2n + 1}^2 + {3.2^2}C_{2n + 1}^3 - ... + (2n + 1){2^n}C_{2n + 1}^{2n + 1}\) 

\( \Rightarrow 2n + 1 = 2005 \Leftrightarrow 2n = 2004 \Leftrightarrow n = 1002.\)