Cho tứ diện ABCD có CD = a căn 2, tam giác ABC là tam giác đều

* Hướng dẫn giải

Chọn A

Coi như $a=1$. Tam giác ACD vuông tại A nên $AD=\sqrt{C{D}^2-A{C}^2}=1=AB$ cân tại A và tam giác ACD vuông cân tại A. Gọi H, E lần lượt là trung điểm của BD và DC. Ta có $AH\perp \left(BCD\right)$ và $CD\perp AE$. Hơn nữa $CD\perp AH$ $\Rightarrow CD\perp \left(AHE\right)$ $\Rightarrow CD\perp HE$ mà HE song song với BC suy ra BC vuông góc với CD. H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, do đó AH là trục đường tròn này. Trong tam giác AHE dựng đường thẳng qua E vuông góc AE và cắt AH tại điểm I. Do mặt phẳng (AHE) vuông góc với mặt phẳng (ACD) nên d cũng vuông góc với (ACD). Hơn nửa E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Ta có $AI.AH=A{E}^2$ $\Rightarrow AI=\frac{A{E}^2}{AH}$. Ta có $AE=\frac{1}{2}CD=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $HK=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow AH=\frac{1}{2}$

Vậy $AI=\frac{A{E}^2}{AH}=1$ $\Rightarrow R=1\Rightarrow V_{mc}=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi a}}^3$