Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}}  = a + b\ln \frac{{1 + {\rm{e}}}}{2}\), với a, b là các số hữu tỉ.

* Hướng dẫn giải

Cách 1. Đặt \(t = {{\rm{e}}^x} \Rightarrow {\rm{d}}t = {{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x\). Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 1 \Rightarrow t = {\rm{e}}\)

\(\int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}}  = \int\limits_0^1 {\frac{{{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x}}{{{{\rm{e}}^x}\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)}}}  = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{{\rm{d}}t}}{{t\left( {t + 1} \right)}}}  = \int\limits_1^{\rm{e}} {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{t + 1}}} \right){\rm{d}}t = } \left. {\left( {\ln \left| t \right| - \ln \left| {t + 1} \right|} \right)} \right|_1^{\rm{e}} = \left( {1 - \ln \left( {1 + {\rm{e}}} \right)} \right) - ( - \ln 2)\)

\( = 1 + \ln \frac{2}{{1 + {\rm{e}}}} = 1 - \ln \frac{{1 + {\rm{e}}}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b =  - 1
\end{array} \right. \Rightarrow S = {a^3} + {b^3} = 0\)

Cách 2. \(\int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}}  = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right) - {{\rm{e}}^x}}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {{\rm{d}}x}  - \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}{\rm{d}}x}  = \left. x \right|_0^1 - \left. {\ln \left| {{{\rm{e}}^x} + 1} \right|} \right|_0^11 - \ln \frac{{1 + {\rm{e}}}}{2}\).

Suy ra a = 1 và b = - 1. Vậy \(S = {a^3} + {b^3} = 0\).

Phân tích phương án nhiễu:

- Khi tính sai tích phân hs sẽ không chọn được kết quả đúng.