Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng 10 m.

* Hướng dẫn giải

Giả sử elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với \(a>b>0\).

Từ giả thiết ta có \(2a = 16 \Rightarrow a = 8\) và \(2b = 10 \Rightarrow b = 5\)

Vậy phương trình của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y =  - \frac{5}{8}\sqrt {64 - {y^2}} \,\,\,\left( {{E_1}} \right)\\
y = \frac{5}{8}\sqrt {64 - {y^2}} \,{\rm{   }}\,\,\left( {{E_2}} \right)
\end{array} \right.\)

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường \((E_1), (E_2), x=-4, x=4\) và diện tích của dải vườn là \(S = 2\int\limits_{ - 4}^4 {\frac{5}{8}\sqrt {64 - {x^2}} {\rm{d}}x}  = \frac{5}{2}\int\limits_0^4 {\sqrt {64 - {x^2}} {\rm{d}}x} \)

Tính tích phân này bằng phép đổi biến \(x = 8\sin t\), ta được \(S = 80\left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\)

Khi đó số tiền là \(T = 80\left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right).100000 = 7652891,82 \simeq 7.653.000\).