Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} ,{\rm{ }}&nbs

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t =  - x \Rightarrow dt =  - dx\).

Đổi cận: \(x =  - \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow t = \frac{{3\pi }}{2}; x = \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow t =  - \frac{{3\pi }}{2}\). Suy ra: \(I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( { - t} \right){\rm{d}}t} \).

Mặt khác: \(f\left( t \right) + f\left( { - t} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2t}  = \sqrt {4{{\cos }^2}t}  = 2\left| {\cos t} \right|\) (thay x = t).

Ta có: \(2I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {\left[ {f\left( t \right) + f\left( { - t} \right)} \right]{\mathop{\rm d}\nolimits} t}  = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {2\left| {\cos t} \right|{\mathop{\rm dt}\nolimits} } \). Suy ra: \(I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {\left| {\cos t} \right|{\mathop{\rm dt}\nolimits} } \).