Diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đường cong \(y =  - {x^3} + 12x\) và \(y=-x^2\( là

* Hướng dẫn giải

Giải phương trình \( - {x^3} + 12x =  - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 4\\
x =  - 3
\end{array} \right.\) 

Diện tích S của hình phẳng (H): \(S = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| {\left( { - {x^3} + 12x} \right) - \left( { - {x^2}} \right)dx} \right|}  = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| { - {x^3} + 12x + {x^2}} \right|dx} \) 

\(\begin{array}{l}
 = \int\limits_{ - 3}^0 {\left| { - {x^3} + 12x + {x^2}} \right|dx}  + \int\limits_0^4 {\left| { - {x^3} + 12x + {x^2}} \right|dx} \\
 = \int\limits_{ - 3}^0 {\left( { - {x^3} + 12x + {x^2}} \right)dx}  + \int\limits_0^4 {\left( { - {x^3} + 12x + {x^2}} \right)dx} \\
 = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} - 6{x^2} - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - 3}^0 + \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} - 6{x^2} - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_0^4\\
 = 0 - \left( {\frac{1}{4}{{.3}^4} - {{6.3}^2} + \frac{1}{3}{{.3}^3}} \right) + \left( { - \frac{1}{4}{{.4}^4} + {{6.4}^2} + \frac{1}{3}{{.4}^3}} \right) - 0 = \frac{{937}}{{12}}
\end{array}\)