Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và \(f\left( 2 \right) = 16,\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = 4.

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

Sử dụng công thức từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \) 

Cách giải:

\(I = \int\limits_0^2 {x.f'\left( {2x} \right)dx}  = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {xd\left( {f\left( {2x} \right)} \right)}  = \frac{1}{2}x.\left. {f\left( {2x} \right)} \right|_0^1 - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx}  = \frac{1}{2}f\left( 2 \right) - \frac{1}{4}\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)d\left( {2x} \right)} \) 

\( = \frac{1}{2}f\left( 2 \right) - \frac{1}{4}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} \) (đặt \(t=2x\)) \(=\frac{1}{2}f\left( 2 \right) - \frac{1}{4}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = \frac{1}{2}.16 - \frac{1}{4}.4 = 8 - 1 = 7\)