Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 2i} \right| = \sqrt 2 \) và \(z^2\) là số thuần ảo?

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

Gọi số phức đó là \(z = a + bi,\left( {a,b \in R} \right).\) Tìm điều kiện của \(a, b\) 

Cách giải:

Gọi số phức đó là \(z = a + bi,\left( {a,b \in R} \right).\)Ta có:

\(\left| {z - 2i} \right| = \sqrt 2  \Leftrightarrow \left| {a + bi - 2i} \right| = \sqrt 2  \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 2\left( 1 \right)\) 

\({z^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} = \left( {{a^2} - {b^2}} \right) + 2abi\) là số thuần ảo \( \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = b\\
a =  - b
\end{array} \right.\) 

+) \(a=b\) Thay vào (1): \({a^2} + {\left( {a - 2} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow 2{a^2} - 4a + 2 = 0 \Leftrightarrow a = 1 = b \Rightarrow z = 1 + i\) 

+) \(a=-b\) Thay vào (1): \({a^2} + {\left( { - a - 2} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow 2{a^2} + 4a + 2 = 0 \Leftrightarrow a =  - 1,b = 1 \Rightarrow z =  - 1 + i\) 

Vậy, có 2 số phức z thỏa mãn yêu cầu đề bài.