Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B.

* Hướng dẫn giải

Gắn hệ trục tọa độ: \(A \equiv O\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),C\left( {1;1;0} \right),D\left( {0;2;0} \right), S\left( {0;0;\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)\) 

\( \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};0;\frac{{3\sqrt 2 }}{4}} \right),N\left( {0;0;\frac{{3\sqrt 2 }}{4}} \right)\) 

\( \Rightarrow \overrightarrow {MC}  = \left( {\frac{1}{2};1; - \frac{{3\sqrt 2 }}{4}} \right),\) lấy \(\overrightarrow a  = 4\overrightarrow {MC}  = \left( {2;4; - 3\sqrt 2 } \right)\) 

\(\overrightarrow {CD}  = \left( { - 1;1;0} \right),\) lấy \(\overrightarrow b  = \left( { - 1;1;0} \right)\) 

Mặt phẳng (MCD) có 1 VTPT \(\overrightarrow n  = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}.\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {1;1;\sqrt 2 } \right),\) đi qua C(1;1;0) có phương trình là:

\(\begin{array}{l}
1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 1} \right) + \sqrt 2 \left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + \sqrt 2 z - 2 = 0\\
 \Rightarrow d\left( {N;\left( {MNC} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + \sqrt 2 .\frac{{3\sqrt 2 }}{4} - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 2} }} = \frac{{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{1}{4}
\end{array}\) 

Vây, khoảng cách từ N đến mặt phẳng (MCD) bằng: \(\frac{1}{4}a\)