Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {3; - 4; - 2} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{arr

* Hướng dẫn giải

\(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 4t\\
y =  - 6t\\
z =  - 1 - 8t
\end{array} \right.\) có 1 VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {4; - 6; - 8} \right)\) 

\(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {3; - 4; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3; - 4} \right)\) 

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3; - 4} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow u  = \left( {4; - 6; - 8} \right)\)

Mà \(A\left( {1; - 1;2} \right) \notin d \Rightarrow AB//d \Rightarrow A,B,d\) đồng phẳng

* Xét mặt phẳng chứa AB và d : Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua \(\Delta ;\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua A, vuông góc với d

Khi đó, giao điểm H của \(\Delta\) với \(\left( \alpha  \right)\) là trung điểm của AA’

\(\left( \alpha  \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {2; - 3; - 4} \right)\) đi qua A(1;-1;2) có phương trình:

\(2\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y + 1} \right) - 4\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y - 4z + 3 = 0\) 

\(H \in d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 4t\\
y =  - 6t\\
z =  - 1 - 8t
\end{array} \right. \Rightarrow \) Giả sử \(H\left( {2 + 4t; - 6t; - 1 - 8t} \right)\) 

\(H \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow 2\left( {2 + 4t} \right) - 3\left( { - 6t} \right) - 4\left( { - 1 - 8t} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow 58t + 11 = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{{11}}{{58}}  \Rightarrow H\left( {\frac{{36}}{{29}};\frac{{33}}{{29}};\frac{{15}}{{29}}} \right)\) 

Ta có: \(IA + IB = IA' + IB \ge A'B \Rightarrow {\left( {IA + IB} \right)_{\min }} = A'B\) khi và chỉ khi I trùng với I₀ là giao điểm của A’B và \(\Delta\) 

HI₀ là đường trung bình của tam giác \(A'AB \Rightarrow \overrightarrow {H{I_0}}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{{I_0}}} - \frac{{36}}{{29}} = \frac{1}{2}.2\\
{y_{{I_0}}} - \frac{{33}}{{29}} = \frac{1}{2}.\left( { - 3} \right)\\
{z_{{I_0}}} - \frac{{15}}{{29}} = \frac{1}{2}.\left( { - 4} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{{I_0}}} = \frac{{65}}{{29}}\\
{y_{{I_0}}} =  - \frac{{21}}{{58}}\\
{z_{{I_0}}} =  - \frac{{43}}{{29}}
\end{array} \right.\) 

\( \Rightarrow {I_0}\left( {\frac{{65}}{{29}}; - \frac{{21}}{{58}}; - \frac{{43}}{{29}}} \right)\) 

Vậy để \(IA+IB\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(I\left( {\frac{{65}}{{29}}; - \frac{{21}}{{58}}; - \frac{{43}}{{29}}} \right) \Rightarrow a + b + c = \frac{{65}}{{29}} - \frac{{21}}{{58}} - \frac{{43}}{{29}} =  - \frac{{21}}{{58}}\)