Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{2}{{{x^2} + 2x + 2}}\) có hoành độ và tung độ đều là số

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(y = \frac{2}{{{x^2} + 2x + 2}} = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}}\) 

Mà \(0 < \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}} \le 2,\) do \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow y \in \left\{ {1;2} \right\}\) 

Với \(y = 1 \Rightarrow \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  - 2
\end{array} \right. \Rightarrow \) Các điểm \(\left( { - 2;1} \right),\left( {0;1} \right)\) thỏa mãn

Với \(y = 2 \Rightarrow \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \Rightarrow \) điểm (- 1;2) thỏa mãn

Vậy, đồ thị  (C)  có 3 điểm có hoành độ và tung độ đều là số nguyên.