Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong \(\left[ { - 2017;2017} \right]\) để phương trình \(\log \left( {mx} \right) = 2\log \left(

* Hướng dẫn giải

\(\log \left( {mx} \right) = 2\log \left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x >  - 1\\
mx = {\left( {x + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\left( I \right)\) 

Ta thấy x = 0 không phải nghiệm khi đó \(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x >  - 1\\
m = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{x} = x + \frac{1}{x} + 2
\end{array} \right.\left( {II} \right)\) 

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x} + 2,x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\) có \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\) 

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x =  - 1\left( L \right)
\end{array} \right.\) 

BBT:

Dựa vào bảng biên thiên, ta có: phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < 0\\
m = 4
\end{array} \right.\) 

Mà \(m \in Z,m \in \left[ { - 2017;2017} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 2017; - 2016;...; - 1} \right\} \cup \left\{ 4 \right\}.\) Có 2018 giá trị của m thỏa mãn