Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = a.

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
AB//CD\\
CD \subset \left( {SCD} \right)\\
AB \not\subset \left( {SCD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right)\) 

Mà \(SC \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\) 

Do O là trung điểm của AC \( \Rightarrow \frac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{OC}} = 2 \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)\) 

Gọi I là trung điểm của CD. Dựng \(OH \bot SI,H \in SI\left( 1 \right)\) 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
CD \bot OI\\
CD \bot SO
\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow CD \bot OH\left( 2 \right)\) 

Từ (1), (2) \( \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right) = OH\) 

\(\Delta SOI\) vuông tại O, \(OH \bot SI \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{I^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\) 

\( \Rightarrow d\left( {AB;CD} \right) = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)