Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, \(A\left( { - 3;0;0} \right),B\left( {0;0;3} \right),C\left( {0; - 3;0} \right) điểm \(M\left( {a,b,c} \right)\) nằm trên mặt phẳng Oxy sao cho...

* Hướng dẫn giải

\(A\left( { - 3;0;0} \right),B\left( {0;0;3} \right),C\left( {0; - 3;0} \right)\) 

+) Xác định điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \) 

\(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 3 - {x_I} = 0 - 0\\
0 - {y_I} =  - 3 - 0\\
0 - {z_I} = 0 - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_I} =  - 3\\
{y_I} = 3\\
{z_I} = 3
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 3;3;3} \right)\) 

+) Khi đó \(M{A^2} + M{B^2} - MC{}^2 = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} - {\overrightarrow {MC} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\) 

\( = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC} } \right) + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} = M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2}\)

\(M{A^2} + M{B^2} - M{C^2}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi MI ngắn nhất \( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu vuông góc của I lên (Oxy) .

\( \Leftrightarrow M\left( { - 3;3;0} \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2} = {\left( { - 3} \right)^2} + {3^2} - 0 = 18\)