Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định, liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ.

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(t\left( x \right) = 2 - \sqrt {2x - {x^2}} ,x \in \left[ {0;2} \right],\) có \(t'\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }},t'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) 

Hàm số \(t(x)\) liên tục trên [0;2] có \(t\left( 0 \right) = t\left( 2 \right) = 2,t\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} t\left( x \right) = 1,\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} t\left( x \right) = 2\) 

\(x \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow t \in \left[ {1;2} \right].\) Khi đó bài toán trở thành có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm \(t \in \left[ {1;2} \right]\) 

Quan sát đths \(y=f(t)\) trên đoạn [1;2] ta thấy phương trình \(f(t)=m\) có nghiệm \( \Leftrightarrow 3 \le m \le 5\) 

Mà \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;5} \right\}:\) có 3 giá trị của m thỏa mãn