Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết \(SA=SB, SC=SD, \left( {SAB} \right) \bot \left( {SCD} \right).

* Hướng dẫn giải

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.

\(\Delta SAB,\Delta SCD\) cân tại \(S \Rightarrow SI \bot AB,SJ \bot CD\) 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
CD \bot SJ\\
CD \bot IJ
\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SJI} \right) \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SJI} \right)\) 

Tương tự: \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SJI} \right) \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = \left( {SI;SJ} \right) = \widehat {ISJ} = {90^0}\) 

Kẻ \(SH \bot JI.\) Mà \(SH \subset \left( {SJI} \right) \Rightarrow SH \bot CD \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\) 

Ta có: \({S_{SAB}} + {S_{SCD}} = \frac{1}{2}SI.AB + \frac{1}{2}SJ.CD = \frac{1}{2}SI.a + \frac{1}{2}SJ.a = \frac{1}{2}\left( {SI + SJ} \right)a = \frac{{7{a^2}}}{{10}}\) 

\(\Rightarrow SI + SJ = \frac{{7a}}{5}\left( 1 \right)\) 

\(\Delta SJI\) vuông tại \(S \Rightarrow S{I^2} + S{J^2} = J{I^2} \Rightarrow {\left( {SI + SJ} \right)^2} - 2SI.SJ = {a^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{7a}}{5}} \right)^2} - 2SI.SJ = {a^2}\) 

\( \Leftrightarrow SI.SJ = \frac{{12{a^2}}}{{25}}\) 

Ta có: \(SI.SJ = SH.JI \Leftrightarrow \frac{{12{a^2}}}{{25}} = SH.a \Leftrightarrow SH = \frac{{12a}}{{25}}\) 

Thể tích khối chóp S.ABCD là \(V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{12a}}{{25}}a{}^2 = \frac{{4{a^3}}}{{25}}\)