Có bao nhiêu giá trị thực của m để bất phương trình \(\left( {2m + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right) - \left

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left( {2m + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right) - \left( {{m^2} + m + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) + 2x + 2 < 0{\sigma _X}\) 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {2m + 2} \right)\left( {{x^3} - 1} \right) - \left( {{m^2} + m + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 2} \right] < 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {2m + 2} \right)x{}^3 - \left( {2m + 2} \right) - \left( {{m^2} + m + 1} \right)x + \left( {{m^2} + m + 1} \right) + 2} \right] < 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {2m + 2} \right)x{}^3 - \left( {{m^2} + m + 1} \right)x + \left( {{m^2} - m + 1} \right)} \right] < 0\left( * \right)
\end{array}\)  

(*) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {2m + 2} \right)x{}^3 - \left( {{m^2} + m + 1} \right)x + \left( {{m^2} - m + 1} \right)} \right] \ge 0\left( {2*} \right)\) luôn đúng với mọi x.

\( \Rightarrow x =  - 1\) là nghiệm của \(\left( {2m + 2} \right)x{}^3 - \left( {{m^2} + m + 1} \right)x + \left( {{m^2} - m + 1} \right)\) 

\( \Rightarrow  - \left( {2m + 2} \right) + \left( {{m^2} + m + 1} \right) + \left( {{m^2} - m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 1
\end{array} \right.\) 

+) m = 0 

\(\left( {2*} \right) \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2{x^3} - x + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2{x^2} - 2x + 1} \right) \ge 0,\forall x\) 

\( \Rightarrow m = 0:\) Thỏa mãn

+) m = 1 

\(\left( {2*} \right) \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {4{x^3} - 3x + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x\) 

\( \Rightarrow m = 1:\) Thỏa mãn.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn