Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm ,MN thuộc các cạnh AB và AD (M, N không trùng với A, B, D).

* Hướng dẫn giải

Do các khối chóp .S ABCD và .S MBCDN có cùng chiều cao kẻ từ S nên \(\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{{{S_{MBCDN}}}}{{{S_{ABCD}}}}\) 

Ta có: \(\frac{{AB}}{{AM}} + 2\frac{{AD}}{{AN}} = 4.\) Áp dụng BĐT Cô si, ta có:

\(\frac{{AB}}{{AM}} + 2\frac{{AD}}{{AN}} \ge 2\sqrt {\frac{{AB}}{{AM}}.2\frac{{AD}}{{AN}}}  = 2\sqrt 2 .\sqrt {\frac{{AB.AD}}{{AM.AN}}} \) (với \(\frac{{AB}}{{AM}} > 1,\frac{{AD}}{{AN}} > 1\) )

\( \Rightarrow 2\sqrt 2 .\sqrt {\frac{{AB.AD}}{{AM.AN}}}  \le 4 \Leftrightarrow \frac{{AB.AD}}{{AM.AN}} \le 2\)

\( \Rightarrow \frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{AMN}}}} \le 2 \Rightarrow \frac{{{S_{ABCD}}}}{{{S_{AMN}}}} \le 4\) (do \({S_{ABD}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\))

\( \Rightarrow \frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABCD}}}} \ge \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{{S_{ABCDN}}}}{{{S_{ABCD}}}} \le \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{V} \le \frac{3}{4}\) 

Tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{V}\) đạt GTLN bằng \(\frac{3}{4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{AB}}{{AM}} + 2\frac{{AD}}{{AN}} = 4\\
\frac{{AB}}{{AM}} = 2\frac{{AD}}{{AN}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{AB}}{{AM}} = 2\\
\frac{{AD}}{{AN}} = 1
\end{array} \right.\)