Cho dãy số (un) thỏa mãn log u1 + căn bậc hai của (2log u1

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Đặt $t=\sqrt{2+\log u_1-2\log u_{10}}\ge 0$

$\iff \log u_1-2\log u_{10}=t^2-2$, 

khi đó giả thiết trở thành:

$\log u_1-2\log u_{10}+\sqrt{2+\log u_1-2\log u_{10}}=0$

$\iff t^2+t-2=0$ 

<=> t = 1 hoặc t = -2

$\Rightarrow \log u_1-2\log u_{10}=-1$

$\iff \log u_1+1=2\log u_{10}$

$$\begin{gathered} \iff \log \left(10u_1\right)=\log {\left(u_{10}\right)}^2 \\ \iff 10u_1={\left(u_{10}\right)}^2 \left(1\right) \end{gathered}$$

Mà u_n+1 = 2u_n => u_n là cấp số nhân với công bội q = 2

=> u₁₀ = 2⁹ u₁ (2)

Từ (1), (2) suy ra

$$\begin{gathered} 10u_1={\left(9^9{u}_1\right)}^2\iff 2^{18}{u}_1^2=10u_1 \\ \iff u_1=\frac{10}{2^{18}} \end{gathered}$$

$\Rightarrow u_n=2^{n-1}.\frac{10}{2^{18}}=\frac{2^n.10}{2^{19}}.$

Do đó $u_n>5^{100}\iff \frac{2^n.10}{2^{19}}>5^{100}$

$$\begin{gathered} \iff n>{\log }_2\left(\frac{5^{100}.2^{19}}{10}\right) \\ =-{\log }_{2}10+100{\log }_{2}5+19 \\ \approx 247,87 \end{gathered}$$

Vậy giá trị n nhỏ nhất thỏa mãn là n = 248.