Cho hình chóp đều S ABCD . có cạnh đáy bằng 2a cạnh bên bằng 3a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng

* Hướng dẫn giải

Gọi \(O = AC \cap BD\) 

Do S.ABCD chóp đều nên đáy ABCD là hình vuông và \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) 

Ta có: \(\frac{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{OC}} = 2 \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2.d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = 2h\) 

Xét \(\Delta ACD\) vuông tại D có: \(AC = \sqrt {A{D^2} + C{D^2}}  = CD\sqrt 2  = 2a\sqrt 2  \Rightarrow OC = OD = a\sqrt 2 \) 

Xét \(\Delta SOC\) vuông tại O có: \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = a\sqrt 7 \) 

Do tứ diện S.OCD có 3 cạnh OS, OC, OD đôi một vuông góc

\( \Rightarrow \frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 7 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{8}{{7{a^2}}} \Rightarrow h = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}\) 

Vậy khoảng cách từ A đến (SCD) bằng \(\frac{{a\sqrt {14} }}{2}\)