Cho hàm số (y = frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + x + 2) có đồ thị (C).

* Hướng dẫn giải

Giả sử \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm

Hệ số góc của tiếp tuyến tại ({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là: \(f'\left( {{x_0}} \right) = {x_0}^2 - 4{x_0} + 1\) 

Hệ số góc của đường thẳng d: \(y =  - 2x + \frac{{10}}{3}\) là -2

Tiếp tuyến song song với đường thẳng d thì: \({x_0}^2 - 4{x_0} + 1 =  - 2\) 

\( \Leftrightarrow {x_0}^2 - 4{x_0} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 1\\
{x_0} = 3
\end{array} \right.\) 

*TH1: \({x_0} = 1,{y_0} = \frac{4}{3},f'\left( {{x_0}} \right) =  - 2\) 

Phương trình tiếp tuyến: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Rightarrow y =  - 2x + \frac{1}{3}\) (loại)

*TH2: \({x_0} = 3,{y_0} =  - 4,f'\left( {{x_0}} \right) =  - 2\) 

Phương trình tiếp tuyến: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Rightarrow y =  - 2x + 2\) (nhận)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y =  - 2x + 2