Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm C(3; 0)  và elip (E) :\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).

* Hướng dẫn giải

Nhận xét: Điểm C(0; 3) là đỉnh của elip (E) => điều kiện cần để \(\Delta ABC\) đều đó là A,B đối xứng với nhau qua Ox. Suy ra A,B là giao điểm của đường thẳng \(\Delta :x = {x_0}\) và elip (E)

+ Ta có elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y =  - \frac{1}{3}\sqrt {9 - {x^2}} \\
y = \frac{1}{3}\sqrt {9 - {x^2}} 
\end{array} \right.\) 

+ Theo giả thiết A có tung độ âm nên tọa độ của \(A\left( {{x_0}; - \frac{1}{3}\sqrt {9 - {x_0}^2} } \right)$\) (điều kiện \({x_0} < 3\) do \(A \ne C\))

+ Ta có: \(AC = \sqrt {{{\left( {3 - {x_0}} \right)}^2} + \frac{1}{9}\left( {9 - {x_0}^2} \right)} \) và \({d_{\left( {C;\Delta } \right)}} = \left| {3 - {x_0}} \right|\) 

+ \(\Delta ABC\) đều \( \Leftrightarrow {d_{\left( {C;\Delta } \right)}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}AC \Leftrightarrow \left| {3 - {x_0}} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sqrt {{{\left( {3 - {x_0}} \right)}^2} + \frac{1}{9}\left( {9 - {x_0}^2} \right)} \)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\left( {3 - {x_0}} \right)^2} = \frac{3}{4}\left[ {{{\left( {3 - {x_0}} \right)}^2} + \frac{1}{9}\left( {9 - {x_0}^2} \right)} \right]\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{3}{x_0}^2 - \frac{3}{2}{x_0} + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = \frac{3}{2}\left( {t/m} \right)\\
{x_0} = 3\left( R \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{3}{x_0}^2 - \frac{3}{2}{x_0} + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = \frac{3}{2}\left( {t/m} \right)\\
{x_0} = 3\left( R \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)