Cho hàm số \(y = x + p + \frac{q}{{x + 1}}\) đạt cực đại tại điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right)\). Tính pq.

* Hướng dẫn giải

\(y = x + p + \frac{q}{{x + 1}},\left( {x \ne 1} \right) \Rightarrow y' = 1 - \frac{q}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{q}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\) 

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}
1 - \frac{q}{{{{\left( { - 2 + 1} \right)}^2}}} = 0\\
 - 2 + p + \frac{q}{{ - 2 + 1}} =  - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
q = 1\\
p = 1
\end{array} \right.\) 

Kiểm tra lại: Với \(q=p=1\), ta có: \(y = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}},y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\): đổi dấu từ dương sang âm tại \(x=-2\).

\( \Rightarrow q = p = 1\): thỏa mãn. Khi đó ta có: \(pq=1\).