Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {a + 4b} \right)x + 2\left( {a

* Hướng dẫn giải

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {a + 4B} \right)x + 2\left( {a - b + c} \right)y + 2\left( {b - c} \right)z + d = 0\) có tâm $I\left( {a + 4b; - a + b - c;c - b} \right)\) 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = a + 4b\\
{y_I} =  - a + b - c\\
{z_I} =  - b + c
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - {y_I} - {z_I}\\
b = \frac{1}{4}{x_I} + \frac{1}{4}{y_I} + \frac{1}{4}{z_I}\\
c = \frac{1}{4}{x_I} + \frac{1}{4}{y_I} + \frac{5}{4}{z_I}
\end{array} \right.\) 

Mà \(4a + b - 2c = 4 \Rightarrow 4\left( { - {y_I} - {z_I}} \right) + \frac{1}{4}{x_I} + \frac{1}{4}{y_I} + \frac{1}{4}{z_I} - 2\left( {\frac{1}{4}{x_I} + \frac{1}{4}{y_I} + \frac{5}{4}{z_I}} \right) = 4 \Leftrightarrow {x_I} + 17{y_I} + 25{z_I} + 16 = 0\) 

Do đó tâm I luôn nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cố định là \(x + 17y + 25z + 16 = 0\) 

Khoảng cách từ điểm D(1;2;- 2) đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): \(d\left( {D;\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 17.2 + 25.\left( { - 2} \right) + 16} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{17}^2} + {{25}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {915} }}\)