Tính tổng S các nghiệm của phương trình \(\left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0\) trong kh

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 3 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( { - \cos 2x} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow  - 2{\cos ^2}2x - 5\cos 2x + 3 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x =  - 3\,(ktm)\\
\cos 2x = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow 2x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z
\end{array}\) 

Xét \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z \in \left( {0;2\pi } \right)\) 

\( \Rightarrow 0 < \frac{\pi }{6} + k\pi  < 2\pi ,\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow  - \frac{1}{6} < k < \frac{{11}}{6} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{7\pi }}{6}} \right\}\) 

Xét \(x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z \in \left( {0;2\pi } \right)\) 

\( \Rightarrow 0 <  - \frac{\pi }{6} + k\pi  < 2\pi ,\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \frac{1}{6} < k < \frac{{13}}{6} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{6};\frac{{11\pi }}{6}} \right\}\) 

Tổng các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện là: \(\frac{\pi }{6} + \frac{{7\pi }}{6} + \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{11\pi }}{6} = 4\pi \).