Biết rằng hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\) chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3.

* Hướng dẫn giải

TXĐ: D = R. Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x + m\) 

Do \(a=3>0\) nên để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3 thì y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9 - 3m > 0\\
{\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 3\\
{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 3\\
{\left( { - 2} \right)^2} - 4.\frac{m}{3} = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 3\\
m =  - \frac{{15}}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - \frac{{15}}{4}
\end{array}\)