Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} + 2mx + {m^2} - 3\) với trục tung (m là tham số).

* Hướng dẫn giải

\(y = \frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} + 2mx + {m^2} - 3\). Cho \(x = 0 \Rightarrow y = {m^2} - 3 \Rightarrow M\left( {0;{m^2} - 3} \right)\) 

\(y' = \frac{{\sqrt {x + 1}  - x.\frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }}}}{{x + 1}} + 2m = \frac{{x + 2}}{{2\sqrt {x + 1} \left( {x + 1} \right)}} + 2m \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 1 + 2m\) 

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M song song với đường thẳng \(y = \frac{1}{4}x + 5\).

\( \Rightarrow y'\left( 0 \right) = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 1 + 2m = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m =  - \frac{3}{8}\) 

Với \(m =  - \frac{3}{8}\), phương trình tiếp tuyến đó là: \(y = \frac{1}{4}.\left( {x - 0} \right) + {\left( { - \frac{3}{8}} \right)^2} - 3 \Leftrightarrow y = \frac{1}{4}x - \frac{{183}}{{64}}\) (thỏa mãn)

Vậy, \(m =  - \frac{3}{8}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.