Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Ta có:

$PT\iff m{\left(\frac{9}{4}\right)}^x-\left(2m+1\right){\left(\frac{6}{4}\right)}^x+m\le 0$

$\iff m{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x}-\left(2m+1\right){\left(\frac{3}{2}\right)}^x+m\le 0$

$Đặt t={\left(\frac{3}{2}\right)}^x; do x\in \left[0;1\right]\Rightarrow t\in \left[1;\frac{3}{2}\right]$.

Khi đó PT trở thành:

 $$\begin{gathered} m{t}^2-\left(2m+1\right)t+m\le 0 \\ \iff m\left(t^2-2t+1\right)\le t \end{gathered}$$

Rõ ràng t =1 là nghiệm của BPT đã cho.

$Do đó BPT nghiệm đúng với \forall t\in \left[1;\frac{3}{2}\right]$

$\iff m\le \underset{1;\frac{3}{2}}{Min}f\left(t\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)=6$.

Vậy có 6 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn.