Phương trình 2^(sin^2 x) + 2^(1+cos^2x) có nghiệm khi và chỉ

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

$Ta có: 2^{{\sin }^{x}x}+2^{1+{\cos }^{2}x}=m$

$$\begin{gathered} \iff 2^{{\sin }^{2}x}+2^{2-{\sin }^{2}x}=m \\ \iff 2^{{\sin }^{2}x}+\frac{4}{2^{{\sin }^{2}x}}=m \left(*\right) \end{gathered}$$   

$Đặt t=2^{{\sin }^{2}x} mà {\sin }^{2}x\in \left[0;1\right]\Rightarrow t\in \left[1;2\right]$

Khi đó (*) tương đương

$m=f\left(t\right)=t+\frac{4}{t}$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t+\frac{4}{t}$ trên đoạn [1;2] có

$f^{\text{'}}\left(t\right)=1-\frac{4}{t^2}\le 0; \forall t\in \left[1;2\right]$.

=> f(t) là hàm số nghịch biến trên [1;2] nên (*) có nghiệm

$\iff \underset{\left[1;2\right]}{min }f\left(t\right)\le m\le \underset{\left[1;2\right]}{max }f\left(t\right)$

Vậy $4\le m\le 5$ là giá trị cần tìm.