Cho x, y > 0 thỏa mãn log (x + 2y) = log x + log y. Khi đó, giá trị

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có log(x + 2y) = log x + log y

<=> log 2 (x+2y) = log 2xy

<=> 2 (x+2y) = 2xy (*).

$Đặt \left\{\begin{array}{l}a=x>0\\ b=2y>0\end{array}\right.$, khi đó

$\left(*\right)\iff 2\left(a+b\right)=ab$

và $P=\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+a}\ge \frac{{\left(a+b\right)}^2}{a+b+2}$

Lại có $ab\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}\Rightarrow 2\left(a+b\right)\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}\iff a+b\ge 8$.

Đặt t = a + b, do đó

$P\ge f\left(t\right)=\frac{t^2}{t+2}.$

$Xét hàm số f\left(t\right)=\frac{t^2}{t+2}trên [8;+\infty )$

$có f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{t^2+2t}{{\left(t+2\right)}^2}>0;\forall \ge 8$

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên $[8;+\infty )$

Vậy gía trị nhỏ nhất của biểu thức P là $\frac{32}{5}$.