Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = a.

* Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD; H là hình chiếu vuông góc của O trên SN.

Vì AB // CD nên \(d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)\) (vì O là trung điểm đoạn MN)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
CD \bot SO\\
CD \bot ON
\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SON} \right) \Rightarrow CD \bot OH\) 

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}
CD \bot OH\\
OH \bot SN
\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).

Tam giác SON vuông tại O nên \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{N^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\) 

Vậy \(d\left( {AB,SC} \right) = 2OH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).