Đồ thị hàm số (y = frac{{5x + 1 - sqrt {x + 1} }}{{{x^2} + 2x}}) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

* Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D = \left[ { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).

· \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{5x + 1 - \sqrt {x + 1} }}{{{x^2} + 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{5}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - \sqrt {\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}}} }}{{1 + \frac{2}{x}}} = 0 \Rightarrow y = 0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

· \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5x + 1 - \sqrt {x + 1} }}{{{x^2} + 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {5x + 1} \right)}^2} - x - 1}}{{\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\) 

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{25{x^2} + 9x}}{{\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt {x + 1} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{25x + 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt {x + 1} } \right)}} = \frac{{ - 9}}{4} \Rightarrow x = 0\) 

không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 1 đường tiệm cận.