Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.

* Hướng dẫn giải

Ta có \(BC/B'C' \Rightarrow BC//\left( {AB'C'} \right)\) 

suy ra \(d\left( {BC,AB'} \right) = d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right)\) 

Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên B’C’ và AI.

Ta có \(B'C' \bot A'I\) và \(B'C' \bot A'A\) nên \(B'C' \bot \left( {A'AI} \right) \Rightarrow B'C' \bot A'H\) mà \(AI \bot A'H\). Do đó \(\left( {AB'C'} \right) \bot A'H\) 

Khi đó \(d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right) = A'H = \frac{{A'A.A'I}}{{\sqrt {A'{A^2} + A'{I^2}} }} = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy khoảng cách cần tìm là \(\frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).