Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD biết AD = 2AB, đường thẳng AC có phương trình (x + 2y + 2 = 0,

* Hướng dẫn giải

Gọi A(a; b). Vì \(A \in AC:x + 2y + 2 = 0\) nên \(a + 2b + 2 = 0 \Rightarrow a =  - 2b - 2\) 

Do a > 0 nên \( - 2b - 2 > 0 \Rightarrow b <  - 1\)  (*)

Khi đó A(-2b – 2; b).

Ta có \(\overrightarrow {AD}  = \left( {2b + 3;1 - b} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AD.

\(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC.

Trên hình vẽ, \(\tan \alpha  = \frac{{DC}}{{AD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\left( 1 \right)\) 

Lại có \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {AD} .\overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{5\left| {b + 1} \right|}}{{\sqrt 5 \sqrt {{b^2} + 2b + 2} }}{\rm{ }}\left( 2 \right)\) 

Từ (1) và (2) suy ra

\(\frac{{5\left| {b + 1} \right|}}{{\sqrt 5 \sqrt {{b^2} + 2b + 2} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\) 

\( \Leftrightarrow {b^2} + 2b - 3 = 0 \Rightarrow b =  - 3\0 (do (*))

=> a= 4.

Khi đó A(4; -3), suy ra a + b = 1.