Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB = BC = CD = DA = 1 và AC, BD thay đổi.

* Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, AC. Đặt BD = 2x,AC = 2y (x, y > 0)

Ta có \(CM \bot BD,AM \bot BD \Rightarrow BD \bot \left( {AMC} \right)\).

Ta có \(MA = MC = \sqrt {1 - {x^2}} ;MN = \sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} ;{S_{AMN}} = \frac{1}{2}MN.AC = \frac{1}{2}y\sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} \) 

\(\begin{array}{l}
{V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.DS.{S_{AMC}} = \frac{1}{3}.2x.y\sqrt {1 - {x^2} - {y^2}}  = \frac{2}{3}\sqrt {{x^2}.{y^2}.\left( {1 - {x^2} - {y^2}} \right)} \\
 \le \frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + 1 - {x^2} - {y^2}} \right)}^3}}}{{27}}} \\
 \Rightarrow {V_{ABCD}} \le \frac{{2\sqrt 3 }}{{27}}
\end{array}\).