Cho hai đường thẳng cố định a và b chéo nhau. Gọi AB là đoạn vuông góc chung của a và b (A thuộc a, B thuộc b).

* Hướng dẫn giải

Dựng hình chữ nhật ABNC.

\(\left( {\widehat {AM,BN}} \right) = \left( {\widehat {AM,AC}} \right) = 60^\circ \) 

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot AM\\
AB \bot BN
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB \bot AM\\
AB \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {ACM} \right)\) 

\({V_{ABNM}} = {V_{MABC}} = \frac{1}{3}AB.{S_{ACM}} = \frac{1}{6}AB.AC.AM\sin \widehat {CAM} = \frac{1}{6}.6.x.y.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}xy\) 

\({V_{ABNM}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}xy \le \frac{{\sqrt 3 }}{2}\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = 8\sqrt 3 \). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 4.

Khi đó AM = BN = AC = 4 

Lại có \(AB//CN \Rightarrow CN \bot \left( {AMC} \right) \Rightarrow CN \bot CM \Rightarrow M{N^2} = C{M^2} + C{N^2}\) 

Mặt khác \(\widehat {MAC} = 60^\circ \) hoặc \(\widehat {MAC} = 120^\circ \) 

Trường hợp 1: \(\widehat {MAC} = 60^\circ  \Rightarrow \) \(\Delta AMC\) đều \( \Rightarrow CM = 4 \Rightarrow MN = \sqrt {{4^2} + {6^2}}  = 2\sqrt {13} \) 

Trường hợp 2: \(\widehat {MAC} = 120^\circ \) 

\( \Rightarrow CM = \sqrt {A{M^2} + A{C^2} - 2AM.AC\cos 120^\circ }  = \sqrt {48}  \Rightarrow MN = \sqrt {48 + {6^2}}  = 2\sqrt {41} \)