Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I  cạnh AB = 3a, BC = 4a.

* Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của ID \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\) 

Qua I dựng đường thẳng d song song với SH, đường thẳng này chính là

trục của hình chóp S.ABCD.

Dựng đường thẳng trung trực của cạnh SB, cắt đường thẳng d tại K.

Khi đó K là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có: \(\angle \left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SB,BH} \right) = \angle SBH = {45^0}\) 

\(BD = 5a \Rightarrow BH = \frac{3}{4}BD = \frac{{15a}}{4} = SH \Rightarrow SB = BH\sqrt 2  = \frac{{15a\sqrt 2 }}{4}\) 

Gọi \(E = d \cap SB\). Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{IE}}{{AH}} = \frac{{IB}}{{BH}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow IE = \frac{2}{3}SH = \frac{{5a}}{2}\)  

\(\begin{array}{l}
\frac{{EB}}{{SB}} = \frac{{IB}}{{HB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow EB = \frac{2}{3}SB = \frac{{5a\sqrt 2 }}{2};AM = MB = \frac{1}{2}SB = \frac{{15a\sqrt 2 }}{8}\\
 \Rightarrow EM = EB - MB = \frac{{5a\sqrt 2 }}{8}
\end{array}\) 

\(\angle SBH = {45^0} \Rightarrow \angle MEK = {45^0} \Rightarrow \Delta EMK\) vuông cân tại \(M \Rightarrow MK = ME = \frac{{5a\sqrt 2 }}{8}\) 

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông MBK ta có:

\(KB = \sqrt {K{M^2} + M{B^2}}  = \sqrt {\frac{{25{a^2}}}{{32}} + \frac{{225{a^2}}}{{32}}}  = \frac{{5\sqrt 5 a}}{4} = R\) 

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD là \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{125\pi }}{4}{a^2}\)