Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là điểm thuộc cạnh AD sao cho AN = 2DN. Đường thẳng qua N vuông góc với BN cắt BC tại K.

* Hướng dẫn giải

Khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK ta được hình trụ có bán kính đáy AB, chiều cao AN và hình nón có bán kính đáy AB, chiều cao \(KO = BK - AN\) 

Ta có: \(AN = \frac{2}{3}AD = \frac{{2a}}{3}\) 

Áp dụng định lý Pitago ta có:

\(\begin{array}{l}
BN = \sqrt {A{B^2} + A{N^2}}  = \sqrt {{a^2} + \frac{4}{9}{a^2}}  = \frac{{a\sqrt {13} }}{3}\\
 \Rightarrow BK = \frac{{N{B^2}}}{{BO}} = \frac{{13{a^2}}}{{9.\frac{2}{3}a}} = \frac{{13a}}{6}\\
 \Rightarrow KO = BK - BO = \frac{{13a}}{6} - \frac{{2a}}{3} = \frac{{3a}}{2}\\
 \Rightarrow {V_{non}} = \frac{1}{3}\pi .A{B^2}.KO = \frac{1}{3}\pi .{a^2}.\frac{{3a}}{2} = \frac{{\pi {a^3}}}{2}\\
 \Rightarrow {V_{tru}} = \pi .A{B^2}.AN = \pi .{a^2}.\frac{2}{3}a = \frac{{2\pi {a^3}}}{3}\\
 \Rightarrow V = {V_{non}} + {V_{tru}} = \frac{{\pi {a^3}}}{2} + \frac{{2\pi {a^3}}}{3} = \frac{{7\pi {a^3}}}{6}
\end{array}\)