Cho hình lập phương ABCD.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và BC.

* Hướng dẫn giải

Gọi \(O = A'C' \cap B'D' \Rightarrow MO \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\)

\( \Rightarrow MO \bot ON \Rightarrow \Delta OMN\) vuông tại N.

\(MO \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow \angle \left( {MN;\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = \angle \left( {MN;MO} \right) = \angle MNO\)

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng 1: \(OM = 1,\,\,ON = \frac{1}{2}\) 

Trong tam giác vuông OMN ta có \(MN = \sqrt {O{M^2} + O{N^2}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) 

\( \Rightarrow \sin \angle MNO = \frac{{OM}}{{MN}} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) 

Vậy \(\sin \alpha  = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)