Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ 0, 1, m và n.

* Hướng dẫn giải

Gọi phương trình đường thẳng bài cho là: d: y = ax +b

Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C): \(y = {x^4} - 2{x^2}\) tại hai điểm có hoành độ là 0; 1 \(\Rightarrow \) tọa độ hai điểm đó là: \(A\left( {0;0} \right),B\left( {1; - 1} \right)\) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a.0 + b = 0\\
a + b =  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 0\\
a =  - 1
\end{array} \right. \Rightarrow d:y =  - x\) 

Khi đó ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

\(\begin{array}{l}
 - x = {x^4} - 2{x^2} \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1\\
{x^2} + x - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Khi đó m, n là  hai nghiệm của phương trình (*)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
m + n =  - 1\\
mn =  - 1
\end{array} \right.\) 

\( \Rightarrow S = {m^2} + {n^2} = {\left( {m + n} \right)^2} - 2mn = 1 + 2 = 3\)