Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({\log _{0,02}}\left( {{{\log }_2}\left( {{3^x} + 1} \right)} \r

* Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: m > 0 

\(\begin{array}{l}
{\log _{0,02}}\left( {{{\log }_2}\left( {{3^x} + 1} \right)} \right) > {\log _{0,02}}m\\
 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{3^x} + 1} \right) < m\,\,\,\left( {{\rm{Do}}\,\,{\rm{0,02 < 1}}} \right) \Leftrightarrow g\left( x \right) = {3^x} + 1 < {2^m}
\end{array}\) 

Bất phương trình có nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \Rightarrow {2^m} \ge \mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} g\left( x \right)\)  

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {3^x} + 1\) trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) ta có:

\(g'\left( x \right) = {3^x}\ln 3 > 0 \Rightarrow \) hàm số \(g\left( x \right) = {3^x} + 1\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

Lại có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {2^m} \ge 2 \Rightarrow m \ge 1\)