Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

* Hướng dẫn giải

Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 1\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{2f\left( x \right) - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{2f\left( x \right) - 1}} = 1 \Rightarrow y = 1\) là TCN của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{2f\left( x \right) - 1}}\)

Xét phương trình \(2f\left( x \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}\)

Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\) có 2 nghiệm phân biệt \(x = {x_1},\,\,\,x = {x_2}\) do đó đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{2f\left( x \right) - 1}}\) có 2 TCĐ.

Vậy tổng số TCN và TCĐ của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{2f\left( x \right) - 1}}\) là 3.