Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn [1;3], thỏa mãn \(f\left( {4 - x} \right) = f\left( x \right),\forall x \in \left[ {1;3} \r

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(I = \int\limits_1^3 {xf\left( x \right)dx = \int\limits_1^3 {tf\left( t \right)dt =  - 2} } \)

Đặt \(t = 4 - x \Rightarrow dt =  - dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow t = 3\\
x = 3 \Rightarrow t = 1
\end{array} \right.\) 

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow I =  - \int\limits_3^1 {\left( {4 - x} \right)f\left( {4 - x} \right)dx = \int\limits_1^3 {\left( {4 - x} \right)f\left( x \right)dx =  - 2} } \\
 \Leftrightarrow 2I = \int\limits_1^3 {xf\left( x \right)dx + \int\limits_1^3 {\left( {4 - x} \right)f\left( x \right)} dx}  =  - 4\\
 \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {\left( {4 - x + x} \right)f\left( x \right)} dx =  - 4 \Leftrightarrow 4\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx =  - 4}  \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx =  - 1} 
\end{array}\)