Cho tứ diện ABCD có \(AB = AC = AD = a,BAC = {60^0},CAD = {60^0},\) \(DAB = {90^0}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD là

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\angle BAC = \angle CAD = {60^0},AB = AC = AD = A\)

\( \Rightarrow \Delta ABC,\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow BC = CD = a\).

Có \(\angle BAD = {90^0} \Rightarrow BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = a\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow \Delta BCD\) vuông cân tại C.

Gọi H là trung điểm của BD. Kẻ \(BD\bot KH\).

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
CH \bot BD\\
AH \bot BD
\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {CAH} \right) \Rightarrow BD \bot KH\\
 \Rightarrow d\left( {AC,BD} \right) = KH
\end{array}\)    

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại H có đường cao KH ta có:

\(KH = \frac{{HC.AH}}{{\sqrt {H{C^2} + H{A^2}} }} = \frac{{\frac{1}{4}B{D^2}}}{{\sqrt {\frac{1}{4}B{D^2} + \frac{1}{4}B{D^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}BD = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.a\sqrt 2  = \frac{a}{2}\)