Một cái phễu gồm một phần có dạng hình trụ, bán kính đáy bằng R và phần còn lại có dạng hình nón, chiều cao bằng

* Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Pytago ta tính được \(SA = SB = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}}  = \sqrt {4{R^2} + {R^2}}  = R\sqrt 5 \).

Ta có \({S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}SO.AB = \frac{1}{2}.2R.2R = 2{R^2}\) 

Nửa chu vi tam giác ABC là \(p = \frac{{SA + SB + AB}}{2} = \frac{{R\sqrt 5  + R\sqrt 5  + 2R}}{2} = R\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\) 

Do khối cầu nằm vừa khít trong hình nón nên bán kính cầu chính bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB.

\( \Rightarrow r = \frac{{{S_{\Delta SAB}}}}{p} = \frac{{2{R^2}}}{{R\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}} = \frac{{2R}}{{\sqrt 5  + 1}}\).

\( \Rightarrow\) Thể tích khối cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{{8{R^3}}}{{{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^3}}}\)  

Thể tích khối cầu chính bằng thể tích phần nước dâng lên trong hình trụ có bán kính đáy R.

Gọi h là chiều cao cột nước dâng lên ta có \(V = \pi {R^2}h = \frac{4}{3}\pi \frac{{8{R^3}}}{{{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^3}}} \Leftrightarrow h = \frac{{32R}}{{3{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^3}}}\)