Cho các số thực \(a, b, c, d\) thay đổi, luôn thỏa mãn \({\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 1\) và \(4c

* Hướng dẫn giải

Gọi \(M\left( {a;b} \right),N\left( {c;d} \right)\)

Khi đó ta có M thuộc đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\left( C \right)\) và N thuộc

đường thẳng \(4x - 3y - 23 = 0\left( d \right)\) 

Ta có: \(P = {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2} = M{N^2}\) 

Đường tròn (C) có tâm I(1;2), bán kính R = 1.

Ta có \(d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {4.1 - 3.2 - 23} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{25}}{5} = 5 > R \Rightarrow d\) không cắt (C).

Khi đó \(M{N_{\min }} = d\left( {I;d} \right) - R = 5 - 1 = 4 \Rightarrow {P_{\min }} = {4^2} = 16\)