Cho đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} + mx + 3\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \(a, b, c\).

* Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} + mx + 3\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \(a, b, c\)  khi đó  \(f\left( x \right) = 2\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)\)

Ta có \(f'\left( x \right) = 2\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + 2\left( {x - a} \right)\left( {x - c} \right) + 2\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f'\left( a \right) = 2\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\\
f'\left( b \right) = 2\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)\\
f'\left( c \right) = 2\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)
\end{array} \right.\) 

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}
P = \frac{1}{{f'\left( a \right)}} + \frac{1}{{f'\left( b \right)}} + \frac{1}{{f'\left( c \right)}}\\
 = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{1}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{1}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}} \right)\\
 = \frac{1}{2}\frac{{c - b + a - c + b - a}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = 0
\end{array}\)