Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V.

* Hướng dẫn giải

 Ta có: \(\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{{AP}}{{AG}} = \frac{{AN}}{{AF}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MP//EG,MN//EF\)                     

\( \Rightarrow \left( {MNP} \right)//\left( {BCD} \right).\)

Ta có \(\frac{{MN}}{{EG}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{BD}} = \frac{1}{3}\) 

Ta có \(\Delta MNP\) đồng dạng với \(\Delta  BCD\) theo tỉ số \(\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \frac{1}{9}\) 

Dựng B'C' qua M và song song BC. C'D' qua P và song song với CD.

\( \Rightarrow \left( {MNP} \right) \equiv \left( {B'C'D'} \right)\) 

Trong (ABG) gọi \(I = AQ \cap B'P\). Ta có \(\frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AQ}} = \frac{{AP}}{{AG}} = \frac{2}{3}\).

\(\begin{array}{l}
\frac{{d\left( {Q;\left( {MNP} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right)}} = \frac{{QI}}{{AI}} = \frac{1}{2};\frac{{d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)}} = \frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{2}{3}\\
 \Rightarrow \frac{{d\left( {Q;\left( {MNP} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{1}{3}
\end{array}\) 

Vậy \(\frac{{{V_{MNPQ}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{9} = \frac{1}{{27}} \Rightarrow {V_{MNPQ}} = \frac{V}{{27}}\)