Cho \(x, y\) thỏa mãn \({\log _3}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 9} \right) + y\left( {y - 9} \right) + xy\).

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
{\log _3}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 9} \right) + y\left( {y - 9} \right) + xy\\
 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + y} \right) - {\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + 2 = {x^2} + {y^2} + xy + 2 - 9x - 9y\,\,\left( {x + y > 0} \right)\\
 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {9x + 9y} \right) + \left( {9x + 9y} \right) = {\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + {x^2} + {y^2} + xy + 2\left( * \right)
\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + {\infty ^{}}} \right)\) 

Từ \(\left( * \right) \Rightarrow f\left( {9x + 9y} \right) = f\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) \Leftrightarrow 9x + 9y = {x^2} + {y^2} + xy + 2\) 

\( \Leftrightarrow 9\left( {x + y} \right) = {\left( {x + y} \right)^2} - xy + 2 \Leftrightarrow xy = {\left( {x + y} \right)^2} - 9\left( {x + y} \right) + 2\)

Ta có: \(x = x + xy - xy = x\left( {y + 1} \right) - xy \le {\left( {\frac{{x + y + 1}}{2}} \right)^2} - xy \Rightarrow xy \le {\left( {\frac{{x + y + 1}}{2}} \right)^2} - x\) 

Từ đó \(xy = {\left( {x + y} \right)^2} - 9\left( {x + y} \right) + 2 \le {\left( {\frac{{x + y + 1}}{2}} \right)^2} - x \Leftrightarrow x \le {\left( {\frac{{x + y + 1}}{2}} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2} + 9\left( {x + y} \right) - 2\) 

Đặt \(t = x + y > 0\) thì

\(\begin{array}{l}
P = \frac{{x + 2\left( {x + y} \right) - 9}}{{x + y + 10}} = \frac{{x + 2t - 9}}{{t + 10}} \le \frac{{\frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}{4} - {t^2} + 9t - 2 + 2t - 9}}{{t + 10}}\\
 = \frac{{{t^2} + 2t + 1 - 4{t^2} + 44t - 44}}{{4t + 40}} = \frac{{ - 3{t^2} + 46t - 43}}{{4t + 40}}
\end{array}\) 

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{ - 3{t^2} + 46t - 43}}{{4t + 40}}\,\,\left( {t \ne -10} \right)\) 

Sử dụng MTCT ta tìm được max P = 1