Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn \(f(x) + f( - x) = \sqrt {1 + {\rm{cos2x}}} ,\forall x \in R\).

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\int_{ - \frac{{3\pi }}{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {f(x)dx}  = \int_{ - \frac{{3\pi }}{4}}^0 {f(x)dx}  + \int_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {f(x)dx} \)

\(\begin{array}{l}
 =  - \int_{\frac{{3\pi }}{4}}^0 {f( - u)du}  + \int_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {f(x)dx}  = \int_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {f( - u)du}  + \int_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {f(x)dx} \\
 = \int_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {{\rm{[}}f(x) + f( - x){\rm{]}}dx}  = \int_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sqrt {1 + c{\rm{os}}2x} } dx\\
 = \int_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sqrt 2 } \left| {\cos x} \right| = \sqrt 2 \left( {\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx}  - \int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\cos xdx} } \right)\\
 = 2\sqrt 2  - 1
\end{array}\)